Prefacio |
Uno puede interpretar la geometría como un juego. Todo juego posee reglas. ¿Cuáles son las reglas del juego geo-mé-trico? Podemos decir que las reglas de éste juego son dadas por los postulados y axiomas, es decir por las suposiciones más básicas y los procedimientos y acciones permitidas.
En el fútbol, por ejemplo, se tiene 11 jugadores en cada equipo, dos porterías, algunos jugadores pueden tocar la bola con sus manos y otros no, también depende de ciertas condiciones cuándo se vale tocar la bola con la mano. A veces el árbitro pita por ejemplo "fuera de juego'' y se sabe que es porque se transgredió una regla.
Pues lo mismo sucede en la geometría. La geometría común que usted, estimado lector, conoce se llama euclidiana. Posee reglas muy precisas. Y lo usual es que las haya conocido y estudiado durante muchos años de su vida.
Se puede pensar qué pasaría si se cambia algunas de las reglas del fútbol. Por ejemplo, que todos los jugadores puedan tocar la bola con sus manos en cualquier lugar de la cancha, o que solamente se pueda usar el pie derecho y no el izquierdo. Evidentemente, el nuevo juego tendría algo de parecido con el fútbol pero ya no sería el mismo. Más parecería balonmano o rugby.
Ahora ¿qué pasaría si cambia algunas de esa reglas de la geometría? Es este el tipo de asuntos que vamos a tratar en este capítulo. Porque, precisamente, podríamos decir que las geometrías no euclidianas respresentan un cambio de algunas de esas reglas. El nuevo juego resulta diferente pero también contiene cosas similares.
En lo que sigue, vamos a conocer algunas de las geometrías que se generaron al cambiar algunos de los postulados clásicos de Euclides. Este no fue un proceso sencillo y fácil porque la geometría euclidiana ha estado asociada a lo que se ha creído es el espacio que nos rodea. Y cambiar una geometría así rompía y todavía rompe muchos de los esquemas mentales e ideas que poseemos.
Su historia es la historia de una de las más grandes revoluciones del pensamiento humano. Es apasionante. Debería recordarse como se recuerda la Revolución Francesa o el descubrimiento de América, y sin embargo la realidad es que pocas personas saben que existió esta revolución.
Este libro constituye esencialmente una reseña histórica e introductoria de las geometrías no euclidianas, pero también hemos querido dotarlo de algunos ejemplos o representaciones físicas (o visualizables) de las mismas. La primera parte está constotuida por cuatro capítulos. El primer capítulo nos ofrece un recuento breve de los postulados y axiomas de la geometría euclidiana. El segundo capítulo recorre la historia del famoso quinto postulado, cuya negación fue responsable de la generación de las geometrías no euclidianas. En el tercer capítulo resumimos la obra de Gauss, Bolyai y Lobachevsky, los padres de este tipo de geometrías. En el capítulo cuarto describimos la evolución de las geometrías no euclidianas y especialmente dentro del marco de la geometría diferencial. Los capítulos quinto y sexto, que constituyen la segunda parte del libro, ofrecen representaciones visuales y físicas de las nuevas geometrías.
Este libro busca llenar una necesidad cultural y educativa en torno a la geometría y las matemáticas. Por sus características la geometría no euclidiana permite avanzar en la comprensión de la naturaleza de las matemáticas; en particular el sentido que en esta disciplina poseen las premisas, los axiomas, y la lógica. Pero, más importante, la historia de estas geometrías ofrece un ejemplo de cómo funciona la construcción matemática en la realidad, en donde las condiciones sociales, históricas e individuales ocupan un papel trascendental.
Para terminar este prefacio, deseo expresar mi agradecimiento a la Editorial de la Universidad de Costa Rica por su apoyo para la publicación de este libro.
Angel Ruiz
Catedrático
Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica
9 de setiembre de 1997.