Hemos decidido estudiar en esta parte tres temas fundamentales que describen la naturaleza de las matemáticas durante el siglo XIX, y, además, nos indican grandes líneas de evolución de lo que constituyen las matemáticas de nuestro tiempo.
El primer tema es el álgebra, que definirá mucho de las características de las matemáticas modernas hasta nuestros días. Aquí enfatizaremos tanto el papel de la teoría de grupos y, en general, de estructuras algebraicas, como la creación de nuevas entidades matemáticas que rompieron con los esquemas usuales aceptados o reconocidos en matemáticas previas. También, incluiremos referencias a las matrices y determinantes, instrumentos de apoyo relevantes.
No podríamos entender las matemáticas de nuestro tiempo sin incursionar en las geometrías no euclidianas, en la geometría diferencial, y en la extraordinaria integración de métodos matemáticos que se dio con la clasificación de geometrías usando la teoría de grupos. De igual manera, asociada a la geometría pero en una perspectiva independiente como disciplina, la topología, de la cual haremos apenas una breve descripción.
Uno de los asuntos que, también, fue relevante durante el siglo XIX y que tuvo influencia posteriormente apunta a los fundamentos de la matemática. Es un proceso que se inicia con la búsqueda de un mayor rigor lógico en los desarrollos matemáticos que se habían tenido en torno al cálculo. Estos procesos condujeron a buscar en la aritmética el fundamento del análisis. Pero, más que nada, se trataba de encontrar rigor a través de la lógica. Esto representaba, visto en perspectiva social, la construcción colectiva de criterios para la validación y aceptación de las construcciones matemáticas.
De muchas maneras, estos tres temas definen buena parte de los esfuerzos matemáticos del siglo XIX, que se continuarían, de múltiples formas, en el siglo XX.
Nuestro esfuerzo no va ser detallado y prefundo, porque no es ese el objetivo de nuestro libro, sino más bien ofrecer una visión global de estos asuntos, que permita al lector vislumbrar los grandes derroteros de las matemáticas en este periodo.
Con esta parte, completaremos el recorrido histórico en las matemáticas que hemos estado haciendo a lo largo de este libro, y nos preparamos para adentrarnos en una reflexión diferente, que apela a los problemas epistemológicos y filosóficos que suscitan las matemáticas
Capítulo 20: El Álgebra del siglo XIX
Capítulo 21: Las Geometrías del siglo XIX
Capítulo 22: El Rigor de las matemáticas