Capítulo XXII: El Rigor en las Matemáticas |
Capítulo XXII: El Rigor en las Matemáticas
22.1 Bolzano y Cauchy
22.2 Weierstrass
22.3 Aritmetización del Análisis
22.4 Rigor: una perspectiva histórica
22.5 Biografías
22.6 Síntesis, Análisis, investigación
Durante el siglo XIX, se dio un proceso de rigorización que buscaba esclarecer algunos conceptos y definirlos de una mejor manera. Por ejemplo, las nociones de función, derivada, continuidad, integral. También se buscaba dar un tratamiento más consistente a las series, puesto que durante el siglo XVIII no se ponía mucho cuidado de si estas eran convergentes o divergentes; de hecho, se llegaba a contradicciones importantes. Uno de los ejemplos son las representaciones de las funciones por medio de series trigonométricas, que habían incurrido en algunas confusiones.
Este proceso de establecer un mayor rigor en los conceptos y métodos del Cálculo va a introducirse en la historia de las matemáticas del siglo XIX dentro de un período en el que se desarrollaron nuevas geometrías y se potenció la abstracción en el álgebra. Puede decirse que sería un período en el que iban a perder su asidero propiedades tan importantes de los sistemas numéricos conocidos como la conmutatividad, o una geometría que daba cuenta de manera natural de representar nuestras percepciones de la realidad exterior, la euclidiana, y también se iba a expandir un nuevo carácter de las matemáticas.
No se puede decir, sin embargo, que existió una relación directa entre la creación de geometrías no euclidianas o las nuevas álgebras y la aritmetización que se dio en ese siglo. Más bien, algunos historiadores de las matemáticas consideran que sobre todo pesó el desencanto que generó la dificultad de fundamentar el análisis en la geometría euclidiana, fue lo que volcó los ojos hacia a la aritmética.
Fue un punto relevante para la afirmación de la deducción y el rigor lógicos como fundamento de las matemáticas o criterio de validación dentro de estas comunidades científicas. Ya en la Grecia Antigua el criterio de la demostración había alcanzado el sentido de prescripción que posteriormente buscaría la mayor parte de matemáticos. Sin embargo, muchas veces la lógica que se desarrollaba dejaba espacios a la intuición y a una visión sensibles del mundo externo. En el nuevo escenario vamos a encontrar la búsqueda por nuevos criterios basados en la aritmética, el álgebra, la lógica abstracta de manera dominante. Esta será una realidad para las matemáticas a partir de ese momento.
Uno de lo asuntos que debió ser revisado fue el concepto de función, debido a la emersión de una gran cantidad y variedad de funciones en la actividad de las matemáticos de la época. Para Gauss, por ejemplo, una función era una expresión cerrada analítica y finita, aunque habló de las series hipergeométricas como funciones, pero sin total convicción que se trataba de funciones. Lagrange había usado las series de potencias como funciones y con ello ofreció un concepto más amplio. Lo mismo sucedía con Lacroix, quien afirmaba: "Toda cantidad cuyo valor depende de una o varias otras es llamada una función de estas últimas, ya sea que uno conozca o no por medio de qué operaciones es necesario de las últimas a la primera cantidad''. Fourier amplió el debate, afirmando que no se requería una representación analítica para una función.
En todo esto pesó el hecho de que aparecían cada vez más y más funciones que no se comportaban como las algebraicas. Y emergían las preguntas acerca de cómo se debían reconsiderar las nociones de variable, continuidad, derivabilidad, etc. en ese nuevo escenario.