¿Cuál es la ecuación ciclotómica?
¿Cómo demostró Gauss que se puede inscribir un polígono regular de 17 lados en el círculo usando regla y compás?
¿Qué son ecuaciones abelianas?
¿Qué es el grupo simétrico de un conjunto de
elementos?
¿Cuál fue el momento decisivo para el reconocimiento de la noción de grupo?
Estudie el siguiente texto.
"Ahora estamos en condiciones de vislumbrar la íntima conexión entre la idea de grupo y la idea de invariancia. Supongamos que nos dan un grupo de transformaciones; una de las principales preguntas que surgen al considerarlo es ésta: ¿qué es lo que permanece inalterado --invariante-- bajo todas y cada una de las transformaciones del grupo? En otras palabras, ¿qué propiedad o propiedades son comunes a los objetos transformados y a los que se transforman? Bien, ahora tenemos ante nosotros un cierto grupo de transformaciones: el grupo de las traslaciones. Llamémoslo G. Cada traslación de G convierte (transforma, lleva, mueve) un punto en otro punto y, así, convierte cualquier configuración de puntos, F --cualquier figura geométrica--, en otra configuración F'. ¿Qué es lo que queda sin cambiar? ¿Cuáles son los invariantes? Es obvio que un invariante --muy importante-- es la distancia; esto es, si P y Q son dos puntos cualesquiera y si sus transformados bajo cierta traslación son, respectivamente, P' y Q', entonces la distancia entre P' y Q' es la misma que entre P y Q. Otro es el orden entre los puntos; si Q está entre P y R, Q' está entre P' y R'. Pueden ver inmediatamente que todas las formas de los ángulos, áreas y volúmenes son invariantes; en una palabra, la congruencia es invariante; si una traslación convierte una figura F en una figura F', F y F' son congruentes. Por consiguiente, la congruencia es invariante bajo todas las traslaciones que tienen una dirección dada. ¿ Constituyen éstas un grupo? Obviamente lo constituyen y este grupo G' es un subgrupo de G. La congruencia es invariante bajo G', pero también lo es bajo G y G' está contenida en G; por esto es natural preguntar si el mismo G no puede incluirse en un grupo, aun más amplio, que deje invariante la congruencia. La pregunta sugiere la inversa de la pregunta del principio. Esta primera era: ¿cuáles son los invariantes de un grupo dado? La pregunta inversa es: ¿ cuáles son los grupos y en particular el grupo más amplio de un invariante dado? Esta pregunta es tan importante como la otra. Consideremos el ejemplo que estamos manejando. El invariante dado es la congruencia. ¿G, el grupo de las traslaciones, es el grupo más amplio de las transformaciones del espacio que deja la congruencia sin cambiar? Evidentemente, no. Supongan las transformaciones del espacio que consisten en rotaciones de éste (como un cuerpo rígido) alrededor de una línea fija (como eje); si una rotación tal convierte una figura F en F' las dos figuras son congruentes. Es evidente que lo mismo sucede si la transformación es un movimiento helicoidal, esto es, una rotación y una traslación simultáneas respecto a una línea fija. Todas estas rotaciones y movimientos helicoidales, junto con las traslaciones, constituyen un grupo llamado grupo de los desplazamientos del espacio, que incluye todas las transformaciones que dejan invariante la congruencia. Este grupo, como les mostrará una pequeña reflexión, tiene muchos, infinitos, subgrupos; el conjunto de los desplazamientos que dejan invariante un punto específico es uno de tales subgrupos; otro es el conjunto que deja invariantes dos puntos dados. ¿Qué relación tiene este último con el subgrupo que deja invariante sólo uno de los puntos? ¿Hay algún desplazamiento que deje invariantes tres puntos no alineados? Estas preguntas son sólo ejemplos de otras muchas que les resultará provechoso formular e intentar resolver.
Me permito repetir las dos cuestiones principales para darles más énfasis.
(1) ¿Qué es lo que queda invariante, al aplicar un grupo de transformaciones dado?
(2) ¿Cuáles son los grupos de transformaciones, y en particular el grupo más amplio, que dejan inalterada alguna cosa dada --un objeto, una propiedad, una relación, no importa lo que sea--, que deba permanecer invariante? [Keyser, Cassius J. : "El concepto de grupo'', p. 338, 339]
Explique la relación entre grupo e invariancia según este texto.
Diga qué son los enteros de Gauss.
¿Quién creó la teoría de ideales?
Mencione y explique las distinciones de Peacock para el álgebra.
Explique qué son los cuaterniones.
¿Qué contribución hizo Grassmann a la generalización de los trabajos en cuaterniones?
Describa brevemente la evolución de los vectores con base en la información dada en este libro. Explique la relación vector-cuaternión.
¿Quién fue el matemático que dio el concepto de espacio lineal?
¿Qué es un espacio de Banach?
Dé 2 ejemplos de cómo funciona la regla de Cramer.
¿En qué tipo de ensayo usó Gauss el método de eliminación gaussiana?
¿Qué es la ecuación característica?
Explique la relación entre matrices y determinantes desde una perspectiva histórica.
Diga quién dio la definición de matrices ortogonales.